人工内耳とコラッツ予想 その３
12月半ばのある一日、電熱ビーターを分解、独りモーター解体ショーをやっていました。
秋も半ばごろには、マグロの解体ショーなどが市場で行われたりするのですが、そのモーター版です。
頻繁にすることではないのですが、機械が壊れた時などに不燃ごみとして出してしまうのではなく、解体してモーターを取り出ししてみる、ということは何度かしています。
そういえば、「おあしす」のシャッター修理時も、お願いしてずっしり重い古いモーターを頂きました。
そのうち、それも展示するかもしれませんが。。。
モーターは、ハッキリ言って面白いです。
電気で動くこともできますし、反対に電気を作り出すこともできます。
要は使いよう。。。
どんなことに使えるかな、と考えながら取り出すのが楽しいのですが、そこから移植する方面に、がなかなか進まず。。。
移植する前にどんなことにどのように使うかという設計を考えなくてはいけないのですが、それを電気で動かすのか、力学で動かすのか、それによって集めるものも変わってきますから。。。
電気で動かすのなら制御をどうするかも考えないといけないのですが、力学で動かす方が簡単で、どうしてもそちらの方に。。。
すべて頭の中のイメージで組み立ててしまおうとする悪い癖があるのもその一理由ですが、解体して取り出す各パーツが同じ名称でも形状や様相が違うので、それぞれのデザインの持つ役割をよく理解して使いこなすというところまで行けていない、というのが大きいのではないかと。
というわけで、取り出したモーターを少し脇において、実は又コラッツ予想について考えています。
何故かコラッツ予想から浮かぶイメージが『ロータリーエンジン』なもので。。。
もし、モーターを電気で、となると制御もよく考えてみなくてはならないし。。。というわけで、コラッツ予想に戻ってきたというわけです。
制御についてなんらかのヒントが得られれば。。。と。
コラッツ予想は誰にでもわかるあるパターンをもっています。
任意の正の整数を３の倍数を基準に並べてみると、
（１） （２）【÷２】 （０）【＋１】
１ 2 → 1【2/2】 3 → 1【3x0+1】
4 →１【4-3】 5 → 1【(5-3)/2】 6 → 1【3x2x0+1】
7 → 1【7-3x2】 8 → 1【(8-3x2)/2】 9 → 1【3x3x0+1】
このように、すべてが結果的に１になるのです。
当然のことと思われるかもしれませんが、３ｎを除いて眺めてみると（０）カテゴリーに入る３の倍数だけが自主的に（＋１）加工しないと除け者になる、ということが分かると思います。
３で割り切れる数値に関しては（＋１）しているからこそ同じ１になるのであると。。。
では、（１）と（２）のカテゴリーの整数に３を掛けてみてはどうでしょう。
除け者の（０）カテゴリーからの視点に変えてみるということですが。
当然ながら、すべてが（０）のカテゴリーに入り、その後加工されて3ｎ+１の数値に変わります。
この３ｎ＋１を活用するために、任意の正の整数ｎを『３の個数+１』として置き換えてみます。
（１）（２）のカテゴリーに３を掛けて（０）のカテゴリーに入れこみ、そして（＋１）。
その数字に含まれる３の個数を新しいｎとして、
『新ｎ＝3の個数＋１』とする。
例えば、n=５の場合なら、
(3の個数1個、余り２）ｘ3＝（3の個数3個＋3の個数2個）
３の個数計算で、３の個数は合計５個、それに（＋１）で6個。
偶数は（÷２）というコラッツ問題に従って、6÷２で3個。
「新ｎ＝３」
n=5の場合は、新ｎ=３ということになります。
記述ではｎのままになっているのでややこしいのですが、経過の式を書けば説明が簡素。
（３×ｎ）÷３＋１＝（偶数は÷2して）新しいｎ
１に収束する条件である2の累乗 2^xの式は、
2^x＝４×2^(x-2)
＝３×2^(x-2)＋2^(x-2)
＝３×{2^(x-2)＋2^(x-4)＋…＋2^(0)｝＋2^(0)
とおけるので、
ｎ＝{2^(x-2)＋2^(x-4)＋…＋2^(0)｝
とおくと、2^(0)＝１であることから、
2^x＝３ｎ＋１
ここに、新しいｎを代入です。
３ｎのｎと、（＋１）した３の個数の新しいｎは違うので注意してください。
（＝の左側と右側のｎの意味が違います。）
３ｎ＋１＝３×2^(ｎ+1-2)＋2^(ｎ+1-2)
３ｎ ＝３×2^(ｎ-1)＋2^(ｎ-1)ー１
新しいｎの後ろには、式の３ｎ、予想式にある（＋１）、最後に１に収束する２の累乗 2^xを参照のために載せます。
新しいｎ ３ｎ （＋１） 2^ⅹ
１ ３ ＋１＝４ 2^2
２ (７) 2^3
３ 15 ＋１＝16 2^4
４ (31) 2^5
５ 63 ＋１＝64 2^6
６ (127) 2^7
７ 255 ＋１＝256 2^8
８ (511) 2^9
９ 1023 ＋１＝1024 2^10
10 (2047) 2^11
3の倍数は、実際には一つ置きに奇数と偶数を繰り返しています。
ですから、３の個数とした新しいｎでは、
★新ｎが奇数時：３ｎ（＋１）で2^xになる偶数値。
★新ｎが偶数時：（－1）して（÷2）で上記と同じく（＋1）で2^xになる偶数値
と繰り返す順で表示されるととっています。
新しいｎが偶数の時は、その初期値は2^xにあたる数値になりますから、（÷2）で１に収束します。
その為に除外できるのですが、３ｎとしての（ ）内数値が更に細分化されてどこに現れるか、ということにステップを理解するカギがあるのかもしれないと残しています。
又、式の関係性からも、
2^xのｘを、新しいｎに（＋１）して(新ｎ+１)と置き換える、
と考えることもできる？ようです。
こうしてみると、正の整数を「３」を単位とした数値で見ると、１に収束する数値って３で細分化するごとに本当に大きな数値になっていくのですね。
その増加率もすごいです。
こういうのは指数関数となるのか。。。なるほどです。
こうしたことをモーターに生かす、となると、どういうことになる？？？
それが私のテーマです。
モーターの回転に、コラッツ氏のいう「３」の役割を持たせるとなると、どういうことになるのでしょう？
低速---中速---高速 と分けるようなもの？
前進---ニュートラル---後進 とするようなもの？
うーん、イメージが一つ上手く掴めません。
モーターで調べてみたら、マイクロステップ制御というのもあるらしい。
ステップを細分化していくと、正弦波に近い出力波形になり、皇かな動きが実現できる電子回路制御方法だとか。。。
サンプリングレートや量子化の世界になってきて、やっぱりエンジンも電気駆動のようなイメージに。。。
うーん、コラッツ予想って奥が深いなぁ。。。
もう2021年12月もあと僅か。。。
良きクリスマスをお楽しみ下さい。
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